Summary of "Transformasi Geometri Bagian 4 - Dilatasi (Perkalian) Matematika Wajib Kelas 11"

Transformasi Geometri — Dilatasi (Perkalian)

Ringkasan konsep, rumus, dan langkah dari video “Transformasi Geometri Bagian 4 - Dilatasi (Perkalian) — Matematika Wajib Kelas 11”.

Dilatasi (perkalian) adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran objek tetapi mempertahankan bentuk dan arah (kolinearitas dan sudut).
Dua elemen penting:
- Titik pusat dilatasi: mis. O atau P dengan koordinat (m, n).
- Faktor skala: k.
Pengaruh nilai k:
- k > 1 : pembesaran (image berada pada sisi yang sama dari pusat, lebih besar).
- 0 < k < 1 : pengecilan (image pada sisi yang sama, lebih kecil).
- k = 1 : identitas (tidak berubah).
- k < 0 : image berada pada sisi yang berlawanan terhadap pusat (efek refleksi melalui pusat). Lebih detail:
  - |k| > 1 : dibesarkan pada sisi berlawanan.
  - |k| < 1 : diperkecil pada sisi berlawanan.
  - k = −1 : sama ukuran tetapi pada sisi berlawanan (refleksi titik terhadap pusat).

Lakukan translasi → skala → translasi balik:
- Rumus: (x', y') = (k(x − m) + m, k(y − n) + n)
- Artinya: kurangi titik pusat, kalikan dengan k, lalu tambahkan kembali pusat.
Contoh:
- A(4, 5), pusat P(−3, 2), k = 3
  - x' = 3(4 − (−3)) + (−3) = 3·7 − 3 = 21 − 3 = 18
  - y' = 3(5 − 2) + 2 = 3·3 + 2 = 9 + 2 = 11
  - Jadi A’ = (18, 11)

Langkah umum:

Dari pemetaan maju: x' = k(x − m) + m dan y' = k(y − n) + n
Selesaikan untuk x dan y (mapping inverse): x = m + (1/k)(x' − m), y = n + (1/k)(y' − n)
Substitusi x dan y tersebut ke persamaan asli f(x,y) = 0.
Sederhanakan dan, bila perlu, kalikan untuk menghilangkan pecahan sehingga diperoleh persamaan dalam x' dan y'.

Contoh terhitung:

Garis asli: x − 3y = 7 Pusat P(−1, 2), k = −3
Pemetaan maju (menggantikan x,y → X,Y sebagai hasil):
- X = −3(x + 1) − 1 = −3x − 4
- Y = −3(y − 2) + 2 = −3y + 8
Selesaikan dan substitusi → disederhanakan menghasilkan garis citra:
- X − 3Y = −49
Pemeriksaan titik sampel:
- Titik asli (7, 0) dipetakan ke (−25, 8) dan memenuhi X − 3Y = −49.

Untuk sebuah titik (x, y):
- Jika pusat (0,0): hitung (k x, k y).
- Jika pusat (m, n): hitung (k(x − m) + m, k(y − n) + n).
Untuk sebuah garis atau kurva f(x, y) = 0:
1. Tulis pemetaan maju dan invert: x = m + (x' − m)/k, y = n + (y' − n)/k.
2. Substitusi ke f(x, y) = 0.
3. Kalikan untuk menghilangkan penyebut dan sederhanakan menjadi persamaan dalam x', y'.
Untuk pengguna matriks:
- Terapkan matriks skalar kI ke vektor ter-translasi (x − m, y − n), lalu tambahkan kembali pusat.

Subtitle auto-generated pada video mengandung kesalahan aritmetika dan notasi (mis. koordinat tercetak salah seperti 18,9 bukannya 18,11; serta kesalahan penyederhanaan aljabar pada garis yang terdilatasi). Ringkasan ini menggunakan rumus yang benar dan contoh yang telah dikoreksi.